Series y Sucesiones

Sucesión aritmética: Es una sucesión de números donde hay una diferencia común entre términos sucesivos

Ejemplos:

a)    1, 4, 7, 10, 14,….

b)    6, 11, 16, 21, 26,…

c)    14, 25, 36, 47, 58,…

d)    4, 2, 0, -2, -4,…

En términos más generales, decimos que la sucesión a₁, a₂, a₃, a₄,…, a_n es una sucesión aritmética si y solo si hay un número real d tal que a_s+1 – a_s = d

Serie aritmética: suma de una sucesión aritmética

S_n = n(a_n +a₁)/2

Sucesión geométrica: Es una sucesión en la que cada termino, despues del primero, se obtiene al multiplicar el termino precedente por un multiplicador común

Ejemplo:

a)    1, 2, 4, 8, 16,…

b)    8, 4, 2, 1, ½, ¼,…

c)    3, 9, 27, 81, 243,…

d)    1, -4, 16, -64, 256,…

En términos más generales, decimos que la sucesión a₁, a₂, a₃, a₄,…, a_n es una sucesión geométrica si y solo si hay un número real r tal que a_{s+1 =} r * a_s

Serie geométrica: suma de una sucesión geométrica

S_n = (a₁*rⁿ – a₁)/r-1

RAZÓN Y PROPORCIÓN NUMÉRICA

Razón entre dos números

Siempre que hablemos de Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el resultado de dividirlos) entre ellos.

Entonces:

Razón entre dos números a y b es el cociente entre   , por ejemplo, la razón entre 10 y 2 es 5.

Proporción numérica

Ahora, cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver como se comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción numérica.

Entonces:

Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b es la misma que entre c y d.

Es decir     de estos cuatro términos; a y d se llaman extremos, c y b se llaman medios.

Se lee “a es a b como c es a d”

Los números 2,  5  y  8,  20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5 es la misma que la razón entre 8 y 20.

 Es decir    

MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... cantidad de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales.

Ejemplo

Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?

Un cargamento de papas  pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán hacer?

Número de sacos	1	2	3	...	26	...
Peso en kg	20	40	60	...	520	...

La propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el producto de los extremos es igual al de los medios.

Constante de proporcionalidad:  siempre que a < c y b < d.

MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES

Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales.

Ejemplo

Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán 18 hombres para realizar el mismo trabajo?

En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por tanto,  las magnitudes son inversamente proporcionales (también se dice que son indirectamente proporcionales).

Formamos la tabla:

Hombres	3	6	9	...	18
Días	24	12	8	...	?

Ejemplo de actividad virtual.

Proporción directa

1.- El uso de agua en sanitario por alumno es de ½ litro en un día, por lo cual una pipa de 10,000 litros la consumirían 20,000 estudiantes.

  

Estudiantes	1	2	3	...	20,000
Uso agua litros	0.5	1	1.5	...	10,000

Proporción inversa.

2.- 2,000 estudiantes consumen 8 tinacos de agua en 2 días, 4,000 estudiantes consumen 8 tinacos de agua en 1 día, 8,000 estudiantes consumen 8 tinacos de agua en medio día…

   

Estudiantes	2,000	4,000	8,000	...	64,000
Días	2	1	1/2	...	1/16 (hora y media)

Actividad virtual. 

Comentar debajo de esta sección, siguiendo numeración.

1. Solución del ejemplo anterior (propuesto por tu compañero)

2. Proponer un ejemplo de proporción directa y uno de proporción inversa que tenga que ver con el plantel o tu comunidad.

CONJUNTO DE NÚMEROS REALES.

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Sean a, b y c cualesquiera números reales entonces:

1.- a = a (reflexiva)

2.- a = b entonces b = a (simétrica)

3.- a = b y b = c entonces a = c (transitiva)

4.- a + b y a*b su resultado es otro número real (cerradura)

5.- a + b = b + a y a*b = b*a (conmutativa)

6.- (a + b) + c = a + (b + c) y (a*b)*c = a*(b*c) (asociativa)

7.- a + 0 = a y a*1 = a (neutros)

8.- a + (-a) = 0 y a* =1(inversos)

9.- a*(b + c) = a*b + a*c (distributiva)